Question

已知函数f（x）=

x+1

e2x

．
（1）当x∈R时，求f（x）的最大值；
（2）当x≥0时，若（x+1）f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=

x+1

e2x

，可得f′（x）=

-2x-1

e2x

，令f′（x）=0，则x=-

1

2

，进而分析函数的单调性，可得当x=-

1

2

时，函数f（x）取最大值；
（2）（x+1）f（x）=

(x+1)2

e2x

=(

x+1

ex

)2，令g（x）=

x+1

ex

，可得函数g（x）在x≥0时恒为正，利用导数法求出函数g（x）的最大值，结合（x+1）f（x）≤m恒成立，可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+1

e2x

．
∴f′（x）=

-2x-1

e2x

，
令f′（x）=0，则x=-

1

2

，
∵x＜-

1

2

时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
x＞-

1

2

时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
故当x=-

1

2

时，函数f（x）取最大值

e

2

；
（2）（x+1）f（x）=

(x+1)2

e2x

=(

x+1

ex

)2，
令g（x）=

x+1

ex

，则g′（x）=

-x

ex

，
当x≥0时，g′（x）≤0恒成立，
故当x=0时，g（x）=

x+1

ex

取最大值1，
此时（x+1）f（x）取最大值1，
若（x+1）f（x）≤m恒成立，
则m≥1；

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数法求函数的最值，难度中档．