Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；
（3）当a∈(

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出f′（x）=x（e^x-2a），分类讨论列出表格得出单调性，
（2）根据前面的结论得出；区域面积S=∫

1 0

[x

2

-（x-1）e^x]dx=[

x3

3

-（x-2）e^x]|

1 0

=e-

5

3

，
（3）根据f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a]单调递增，得出：函数f（x）在[0，a]上的最大值M=max{f（0），f（a）}=max{-1，（a-1）e^a-a³，}，
运用导数判断-1，（a-1）e^a-a³大小，运用作差构造函数，多次求导数解决．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
∴f′（x）=x（e^x-2a），
①当a≤0时，∵e^x-2a＞0，
∴x＞0时，f′（x）＞0，
x＜0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
单调递减区间为（-∞，0），
②当0＜a＜

1

2

时，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
当x变化时，如下表格：

x	（-∞，ln2a）	ln2a	（ln2a，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

可求得（-∞，ln2a）（0，+∞）为单调递增区间；（ln2a，0）为单调递减；
③当a=

1

2

时，f′（x）=x（e^x-2a）≥0，∴f（x）在R上单调递增．
④当a＞

1

2

时，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
当x变化时，如下表格：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2a）	ln2a	（ln2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

可求得（-∞，0），（ln2a，+∞）为单调递增区间；（0，ln2a）为单调递减；
（2）由④和f（1）＜0知f（x）＜0，x∈[0，1]恒成立，
∴区域面积S=∫

1 0

[x

2

-（x-1）e^x]dx=[

x3

3

-（x-2）e^x]|

1 0

=e-

5

3

，
（3）f′（x）=x（e^x-2a），f′（x）=0，得出x₁=0．x₂=ln2a，
∵x∈[0，a]，a∈(

1

2

，1]时，
∴令g（a）=ln2a-a
g′（a）=

1-a

a

＞0，∴g（a）=ln2a-a，a∈(

1

2

，1]，单调递增．
g（a）≤ln2-1ln2-lne＜0，
∴ln2a＜a，
∴ln2a∈[0，a]，
∴x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，x∈（ln2a，a]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a]单调递增，
∴函数f（x）在[0，a]上的最大值M=max{f（0），f（a）}=max{-1，（a-1）e^a-a³，}，
令h（a）=（a-1）e^a-a³+1，h′（a）=a（e^a-3a），
令φ（a）=e^a-3a，φ′（a）=e^a-3＜0，
∴φ（a）=e^a-3a，a∈(

1

2

，1]，单调递减，
φ（

1

2

）•φ（1）＜0，
存在x₀∈[

1

2

，1]时，∴φ（a）=0，
∴[

1

2

，x₀]时，φ（a）＞0，即h′（a）＞0；
[x₀，1]时，φ（a）＜0，即h′（a）＜0；
∴h（a）在[

1

2

，x₀]单调递增，在[x₀，1]单调递减，
∵h（

1

2

）=-

1

2

e

+

7

8

，h（1）=0，
∴当a∈(

1

2

，1]时，h（a）≥0恒成立，（a=1时等号成立）
∴函数f（x）在[0，a]上的最大值为：（a-1）e^a-a³，

点评：本综合考查了函数的导数的运用，难度较大，多次求导判断最值，单调性，必需思路清晰，目的性强．