Question

已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.3）=-1，定义f（x）=[x）-x，则下列命题中正确的是（　　）
①[x）+[y）≤x+y；
②函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
③f（x）为R上的奇函数，且f（x）为周期函数；
④若x∈（1，2015），则方程[x)-x=

1

2

有2014个根．

• A、②④
• B、③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①，令x=3，y=-1.3，根据“[x）表示大于x的最小整数”，判断①即可；
②，分“当x为整数时”与“当x不为整数时”讨论，依据“[x）”的含义，判断②即可；
③，当x为整数时，-x也是整数，f（-x）=f（x）=1，判断③即可；
④，利用周期函数的概念可判断出f（x）为1为周期的函数，并求出当x∈[0，1）时，f（x）=[x）-x=1-x，作出函数图象，判断④即可．

解答： 解：对于①，令x=3，y=-1.3，则[x）+[y）=[3）+[-1.3）=4-1=3，x+y=3+（-1.3）=1.7，[x）+[y）＞x+y，故①错误；
对于②，当x为整数时，f（x）=[x）-x=（x+1）-x=1；
当x不为整数时，f（x）=[x）-x∈（0，1）；
所以，函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]，故②正确；
对于③，当x为整数时，-x也是整数，f（-x）=f（x）=1，不是奇函数，故③错误；
对于④，因为f（x+1）=[x+1）-（x+1）=（[x）+1）-（x+1）=[x）-x=f（x），
所以，f（x）为1为周期的函数，
又当x=0时，f（x）=1，当x∈（0，1）时，f（x）=[x）-x=1-x，
故其图象如下：

当x∈（1，2015），直线y=

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2

与f（x）=[x）-x有2014个交点（每个周期一个，有2014个周期），
则方程[x)-x=

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2

有2014个根，故④正确．
综上所述，命题中正确的是②④，
故选：A．

点评：本题考查新定义“[x）”的理解与应用，着重考查函数的周期性、奇偶性、单调性与值域，理解“[x）”的含义是关键，考查转化思想与作图能力，是难题．