Question

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间与极值．
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数，对a分，a=0，a＞0，a＜0进行讨论，求出函数的单调区间和极值；
（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数，即（1，+∞）是f（x）单调递减区间的子集．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+a-2a2x=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①当a=0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）上单调递增，函数无极值；
②当a＞0，令f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

，且x₁＜0＜x₂，当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(

1

a

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x=

1

a

时f（x）有极小值为f(

1

a

)=ln

1

a

；
③当a＜0，令f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

，且x₂＜0＜x₁，当x∈（0，-

1

2a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(-

1

2a

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x=-

1

2a

时，f（x）有极小值f(-

1

2a

)=ln(-

1

2a

)-

3

4

．
（2）由（1）知当a＞0，时f（x）在（

1

a

，+∞）上单调递减，∴

1

a

≤1，得a≥1，当a＜0时，f（x）在（-

1

2a

，+∞）上单调递减，∴-

1

2a

≤1，得a≤-

1

2

，
综上得：a的取值范围为（-∞，-

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了，导数的应用，求单调区间，求极值，分类讨论思想，是一道导数的综合题，属于中档题目．