Question

已知a，b，c，d都是实数，求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：证法1：（分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），需证其充分条件成立，直到所证关系式显然成立，从而可知原结论成立；
证法2：（综合法）a²d²+b²c²≥2abcd，利用重要不等式可得（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²），从而证得结论成立；
证法3：（作差法）易证（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（b²c²-a²d²）²≥0，从而可知结论成立．

解答： 证法1：（分析法）要证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）成立，
即证：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² 成立，
即证：2abcd≤a²d²+b²c² 成立，
即证：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²成立，
上式明显成立．
故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．
证法2：（综合法）因为a²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式），
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²）．
证法3：（作差法）因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）
=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）
=b²c²+a²d²-2abcd=（b²c²-a²d²）²≥0，
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法、综合法、作差法的应用，考查推理证明能力，属于中档题．