Question

已知函数f（x）=x²-

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ax³，g（x）=me^x-x-1，曲线y=g（x）在x=0处取得极值．
（1）求m的值；
（2）若a≤0，试讨论y=f（x）的单调性；
（3）当a=

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，x＞0时，求证：g（x）-x³＞f（x）-

1

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x²．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导g′（x）=me^x-1，从而得到g′（0）=me⁰-1=0，从而解得．
（2）先求函数f（x）=x²-

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ax³的定义域，求导f′（x）=2x-2ax²=2x（-ax+1）；从而判断函数的单调性；
（3）当a=

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时，f（x）=x²-x³，令h（x）=g（x）-x³-[f（x）-

1

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x²]=e^x-

1

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x²-x-1，（x＞0）；从而求导证明．

解答： 解：（1）∵g（x）=me^x-x-1，∴g′（x）=me^x-1，
又∵曲线y=g（x）在x=0处取得极值，
∴g′（0）=me⁰-1=0，
解得，m=1；
（2）函数f（x）=x²-

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ax³的定义域为R，
f′（x）=2x-2ax²=2x（-ax+1）；
当a=0时，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，
故y=f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；
当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞0或x＜

1

a

，由f′（x）＜0得

1

a

＜x＜0；
故y=f（x）的增区间为（-∞，

1

a

），（0，+∞），减区间为（

1

a

，0）；
（3）证明：当a=

3

2

时，f（x）=x²-x³，
令h（x）=g（x）-x³-[f（x）-

1

2

x²]
=e^x-

1

2

x²-x-1，（x＞0）；
h′（x）=e^x-x-1，＞0，易知h（x）在（0，+∞）内单调递增，
h（x）＞h（0）=0，
即g（x）-x³＞f（x）-

1

2

x²．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．