Question

若0＜m＜1，0＜n＜1，则

mn(1-m-n)

(m+n)(1-m)(1-n)

的最大值为（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：

(m+n)(1-m)(1-n)

mn(1-m-n)

=(

1

m

+

1

n

)(1+

mn

1-m-n

)=

1

m

+

1

n

+

m+n

1-m-n

=

1

m

+

1

n

+

1

1-m-n

-1，
∵

1

m

+

1

n

+

1

1-m-n

=(

1

m

+

1

n

+

1

1-m-n

)[m+n+(1-m-n)]≥9，
∴

mn(1-m-n)

(m+n)(1-m)(1-n)

≤

1

8

，当且仅当m=n=1-m-n时，上式等号成立．
即当m=n=

1

3

时，

mn(1-m-n)

(m+n)(1-m)(1-n)

的最大值为

1

8

．
故选：D．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力，属于中档题．