Question

16．已知正项等比数列{a_n}满足log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₂₀₀₉=2009，则log₂（a₁+a₂₀₀₉）的最小值为2．

Answer 1

分析 由对数的运算性质及可求a₁•a₂…a₂₀₀₉，结合等比数列的性质可求a₁a₂₀₀₉，利用基本不等式即可求解

解答 解：∵log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₂₀₀₉=2009由对数的运算性质可得，log₂^a₁•^a₂•^{_••a₂₀₀₉}=2009
∴a₁•a₂•_••a₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹，
由等比数列的性质可得，a₁•a₂₀₀₉=a₂•a₂₀₀₈=…=a₁₀₀₅²，
∴a₁₀₀₅²⁰⁰⁹=2²⁰⁰⁹，
∵a_n＞0，
∴a₁₀₀₅=2，
∴a₁•a₂₀₀₉=a₂•a₂₀₀₈=…=a₁₀₀₅²=4，
由基本不等式可得，a₁+a₂₀₀₉≥4，
则log₂（a₁+a₂₀₁₉）≥2即最小值2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查了对数的运算性质、等比数列的性质及利用基本不等是求解最值等知识的综合应用．