Question

求证：当x∈R时，任意f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先假设f（x）=g（x）+h（x）是存在的，再根据函数的奇偶性构造方程组，求出g（x）和h（x）的解析式，再由奇（偶）进行验证即可．

解答： 证明：设g（x）是R上的奇函数，h（x）是R上的偶函数，
先假设f（x）=g（x）+h（x）是存在的，则f（-x）=g（-x）+h（-x），
∵奇函数性质：g（x）=-g（-x），
偶函数性质：h（x）=h（-x）
∴

f(x)+f(-x)=2h(x) f(x)-f(-x)=2g(x)

，
解得g(x)=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，
则验证得，g（x）为R上的奇函数，h（x）为R上的偶函数，
由此我们得出结论，当x∈R时，对任意的f（x），我们能够构造这么两个函数 
g(x)=

f(x)-f(-x)

2

是奇函数，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

是偶函数，且f（x）=g（x）+h（x）．

点评：本题是探究性的证明题，考查了函数奇偶性的定义及性质的应用，以及方程思想．