Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点（

1

2

，0）的动直线交抛物线于不同两点P，Q，线段PQ中点为M，射线MF与抛物线交于点A．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线PQ的斜率为k，用k表示△APQ的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ） 设直线PQ方程为x=ty+

1

2

，代入y²=4x，消去x，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入法消去t，即可得到M的轨迹方程；
（Ⅱ） 设

FA

=λ

FM

  (λ＜0)，A（x₀，y₀），代入M的坐标，再由抛物线方程，又λ＜0，所以t²=-

1

2λ

，由点到直线的距离公式，以及弦长公式，求出三角形APQ的面积．

解答： 解：（Ⅰ） 设直线PQ方程为x=ty+

1

2

，代入y²=4x得，
y²-4ty-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-2，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+1=4t²+1，
所以M（2t²+

1

2

，2t）．
设M（x，y），由

x=2t2+ 1 2 y=2t

，消去t，得中点M的轨迹方程为：y²=2x-1．          
（Ⅱ） 设

FA

=λ

FM

  (λ＜0)，A（x₀，y₀），又F（1，0），M（2t²+

1

2

，2t），
于是

x0=2λt2- 1 2 λ+1 y0=2λt.

，
由点A在抛物线y²=4x上，得(λ2-2λ)t2=-

1

2

λ+1，
又λ＜0，所以t²=-

1

2λ

，点A到直线PQ的距离d=

|λ-1|

2 1+t2

．
又|PQ|=

1+t2

|y₁-y₂|=2

(1+t2)(4t2+2)

．
所以，△APQ面积S=

1

2

•|PQ|•d=

2

2

2t2+1

|λ-1|=

2

2

(λ-1)3 λ

，
由于k=

1

t

，则λ=-

1

2

k²，则S=

2

2

2(1+ 1 2 k2)3

|k|

．

点评：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．