Question

已知f（x）=x²-abx+2a²．
（Ⅰ）当b=3时，
（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；
（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法即可得到结论．
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当b=3时，f（x）=x²-abx+2a²=x²-3ax+2a²，
（ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，
∴1，2是方程x²-3ax+2a²=0的两根．
∴

1+2=3a 1×2=2a2

，解得a=1．
（ⅱ）∵x²-3ax+2a²＜0，
∴（x-a）（x-2a）＜0，
∴若a＞0时，此不等式解集为（a，2a），
若a=0时，此不等式解集为空集，
若a＜0时，此不等式解集为（2a，a）．
（Ⅲ）f（2）=4-2ab+2a²＞0在a∈[1，2]上恒成立
即b＜a+

2

a

在a∈[1，2]上恒成立；   
又∵a+

2

a

≥2

a• 2 a

=2

2

，
当且仅当a=

2

a

，即a=

2

时上式取等号．
∴b＜2

2

，
实数b的取值范围是（-∞，2

2

）

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用基本不等式将参数进行分类，求出函数的最值是解决本题的关键．