Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＜B＜90°＜C，且2b=a+c，则

c

a

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由题意可得A＜45°，45°＜B＜90°，

c

a

＞1．由余弦定理可得 cosB=

3a2+3c2-2ac

8ac

．再由 45°＜B＜90°，可得 0＜cosB＜

2

2

，化简可得 3(

c

a

)2-（2+4

2

）

c

a

+3＜0，由此求得

c

a

的取值范围．

解答： 解：在△ABC中，由A＜B＜90°＜C可得，C为三角形的最大角，且是钝角，A为最小角，
故A＜45°，45°＜B＜90°，

c

a

＞1．
由2b=a+c，可得b=

a+c

2

，由余弦定理可得 (

a+c

2

)2=a²+c²-2ac•cosB，
化简可得 cosB=

3a2+3c2-2ac

8ac

．
再由 45°＜B＜90°可得 0＜cosB＜

2

2

，化简可得 3(

c

a

)2-（2+4

2

）

c

a

+3＜0．
解得 

1+2 2 -2 2

3

＜

c

a

＜

1+2 2 +2 2

3

．
综上可得，

c

a

的取值范围是（1，

1+2 2 +2 2

3

），
故答案为 （1，

1+2 2 +2 2

3

）．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．