Question

已知数列{a_n}满足：a1=2，an+1=2an+2n+2(n∈N*)．
（I）设bn=

an

2n

证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的通项公式,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）根据等差数列的定义可证{b_n}为等差数列，先求出b_n，即可求得a_n；
（II）用错位相减法即可求得求和．

解答： （I）证明：∵bn+1-bn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

2an+2n+2

2n+1

-

an

2n

=

2an+2n+2-2an

2n+1

=2，
∴数列{b_n}为等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ．
（II）解：设Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n，
则2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：
-S_n=2+2•2²+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6，

点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式及数列求和，若{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，则{a_n•b_n}的前n项和宜用错位相减法，学生应该熟练掌握．