Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2 分钟．设这名学生在路上遇到红灯的个数为变量ξ、停留的总时间为变量X，
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）这名学生在上学路上遇到红灯的个数至多是2个的概率．
（3）求X的标准差

D(X)

．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（1）设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，说明路过前两个路口遇到的都不是红灯，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）由题意可知：这名学生在路上遇到红灯的个数变量ξ～B(4，

1

3

)，即可得出；
（3）利用二项分布的方差的计算公式和性质即可得出．

解答： 解：（1）设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，说明路过前两个路口遇到的都不是红灯，因此则P（A）=(1-

1

3

)2×

1

3

=

4

27

；
（2）由题意可知：这名学生在路上遇到红灯的个数变量ξ～B(4，

1

3

)，∴P（ξ≤2）=P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）=(1-

1

3

)4+

C

1 4

×

1

3

×(1-

1

3

)3+

C

2 4

(

1

3

)2(1-

1

3

)2=

8

9

．
（3）由（2）可知：D（ξ）=4×

1

3

×(1-

1

3

)=

8

9

．
∴D（X）=D（2ξ）=2²D（ξ）=

32

9

．
∴

D(X)

=

32 9

=

4 2

3

．

点评：熟练掌握相互独立事件的概率计算公式、二项分布的概率计算公式、分布列及其方差与性质设解题的关键．