Question

11．给出下列命题：
①函数f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{{{{log}_2}（x-1）}}$的定义域为[3，+∞）；
②将函数y=tanx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，得到g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是$（kπ-\frac{5π}{3}，kπ+\frac{π}{3}）（k∈Z）$；
③已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常数且a＞0），若f（x）＞0在$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）；
④已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常数且a＞0），对任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
⑤已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}，x≤a}\\{{x^2}，x＞a}\end{array}}$，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是a＜0或a＞1．
其中正确命题的序号是①④⑤．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①根据函数成立的条件进行求解．
②根据三角函数的图象以及三角函数的单调性进行求解判断．
③根据函数恒成立，利用参数分离法进行求解．
④根据凹函数的性质，利用数形结合进行判断．
⑤由g（x）=f（x）-b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．

解答 解：①要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{lo{g}_{2}（x-1）≠0}\\{|x-2|-1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x≠2}\\{x≥3或x≤1}\end{array}\right.$，得x≥3，即函数的定义域为[3，+∞）；故①正确，
②将函数y=tanx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=tan$\frac{1}{2}x$，
再把图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位，得到y=tan$\frac{1}{2}$（x+$\frac{2π}{3}$）=tan（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），即g（x）=tan（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得2kπ-$\frac{5π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2kπ-$\frac{5π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z，故②错误，
③已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常数且a＞0），
若f（x）＞0在$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，则2ax-1＞0，即a＞$\frac{1}{2x}$，
∵当x≥$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2x}$≤$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$=1，则a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）；故③错误，
④已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}}$（a是常数且a＞0），对任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，若$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，则函数为凹函数，作出函数y=f（x）在x＜0时的图象如图：

则函数为凹函数，满足条件．故④正确；
⑤解：∵g（x）=f（x）-b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由x³=x²可得，x=0或x=1
当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意

当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意
当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意

④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点

综上可得，a＜0或a＞1，故⑤正确，
故答案为：①④⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数以及函数的性质，综合性较强，难度较大．