Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足（t-1）S_n=t（a_n-2），（t为常数，t≠0且t≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=S_n-1，且数列{b_n}为等比数列．
①求t的值；
②若c_n=（-a_n）•log₃（-b_n），求数列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“当n=1，a₁=S₁时，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及等比数列的通项公式即可得出；
（II）（Ⅱ）①数列{b_n}为等比数列，可得

b

2 2

=b1b3，解得t=

1

3

．代入（t-1）S_n=t（a_n-2），即可得出b_n=S_n-1．
②c_n=（-a_n）•log₃（-b_n）=

2n

3n

，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由（t-1）S_n=t（a_n-2），（t-1）S_n+1=t（a_n+1-2），（t为常数，t≠0且t≠1）．
作差得（t-1）a_n+1=t（a_n+1-a_n），化为a_n+1=ta_n，
当n=1时，（t-1）a₁=t（a₁-2），解得a₁=2t．
即数列{a_n}成等比，an=a1•tn-1=2tⁿ．
（Ⅱ）①∵数列{b_n}为等比数列，
∴

b

2 2

=b1b3，
代入得（2t+2t²-1）²=（2t-1）（2t+2t²+2t³-1），
 整理得6t³=2t²，t≠0．
解得t=

1

3

．
∴-

2

3

S_n=

1

3

(2×

1

3n

-2)，
∴S_n=1-

1

3n

．
∴bn=Sn-1=-

1

3n

，
数列{b_n}为等比数列．
②c_n=（-a_n）•log₃（-b_n）=

2n

3n

，
∴T_n=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+…+

2(n-1)

3n

+

2n

3n+1

，
 作差得

2

3

Tn=

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

=

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n

3n+1

=1-

2n+3

3n+1

，
故T_n=

3

2

-

2n+3

2•3n

．

点评：本题考查了等比数列的定义、通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．