Question

已知直线l交双曲线x²-

y2

2

=1于A、B不同两点，若点M（1，2）是线段AB的中点，求直线l的方程及线段AB的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出过P（1，2）点的直线AB方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求韦达定理求出k的值，求出AB的方程即可．

解答： 解：①若直线l垂直于轴，点A、B重合，显然不成立----------------（2分）
②若直线斜率存在，设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），
代入双曲线方程得
（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=-

2k2-4k

2-k2

，
由已知 

x1+x2

2

=x_p=1，
∴-

2k2-4k

2-k2

=2．解得k=1．
又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．
弦长|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

22-4×(-3)

=4

2

----------（12分）
（另点差法也可相应给分，但要注意讨论x₁-x₂=0情况）

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，中点坐标公式的应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力．