Question

8．已知α，β为锐角，且$cosα=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，cos（α+β）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则cos2β=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β 的值．

解答 解：∵α，β为锐角，且$cosα=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∵cos（α+β）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＞0，∴α+β还是锐角，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sincos（α+β）sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{7\sqrt{2}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{10}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos2β=2cos²β-1=$\frac{4}{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题．