Question

5．若tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{10}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出角的正切函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．

解答 解：tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），可知tanα＞1，解得tanα=3．
sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2tanα+1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{-2}{1+9}$=$-\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数化简求值、两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．