Question

有四个关于三角函数的命题：
p₁：?x∈R，使得sinx+cosx=

3

2

；
p₂：?x，y∈R，使得sin（x+y）=sinx+siny；
p₃：?x∈[0，π]，都有

1-cos2x 2

=sinx；
p₄：任意锐角△ABC中，恒有sinA＞cosB成立；
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：p₁：利用三角恒等变换及正弦函数的值域可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，从而可判断p₁错误；
p₂：：?x=0，y=0∈R，使得sin（0+0）=sin0+sin0，可判断p₂正确；
p₃：利用正弦函数的图象与性质可知x∈[0，π]时，sinx≥0，再利用降幂公式可判断p₃正确；
p₄：利用诱导公式及正弦函数的单调性质可判断p₄正确．

解答： 解：p₁：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，故不存在x∈R，使得sinx+cosx=

3

2

，即p₁错误；
p₂：?x=0，y=0∈R，使得sin（0+0）=sin0+sin0，故p₂正确；
p₃：∵x∈[0，π]时，sinx≥0，故当x∈[0，π]时，

1-cos2x 2

=|sinx|=sinx，即p₃正确；
p₄：锐角△ABC中，A+B＞

π

2

，

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
恒有sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB成立，即p₄正确；
综上所述，真命题的个数是3个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的诱导公式、辅助角公式及降幂公式的应用，属于中档题．