Question

4．在由正整数构成的无穷数列{a_n}中，对任意的n∈N^*，都有a_n≤a_n+1，且对任意的k∈N^*，数列{a_n}中恰有k个k，则a₂₀₁₆=63．

Answer 1

分析 利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第2016项所在的组，求出第2016项．

解答 解：∵对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，
∴数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…
则当n=62，
1+2+3+…+62=$\frac{62（62+1）}{2}$=1953＜2016．
当n=63，
1+2+3+…+63=$\frac{63（63+1）}{2}$=2016．
∴a₂₀₁₆在第63组中，
故a₂₀₁₆=63．
故答案为：63．

点评 本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项，是中档题．