Question

16．给出下列命题：
①若{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}可以作为空间的一个基底，$\overrightarrow{d}$与$\overrightarrow{c}$共线，$\overrightarrow{d}$≠0，则{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$}也可作为空间的一个基底；
②已知向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{BN}$不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；
④已知向量组{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}是空间的一个基底，若$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，则{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{m}$}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 因为不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，故只需判断三个向量是否共面即可．

解答 解：①∵{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}可以作为空间的一个基底，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面，∵$\overrightarrow{d}$与$\overrightarrow{c}$共线，$\overrightarrow{d}$≠0，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$不共面，故①正确．
②∵向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$与任何向量都共面，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确．
③∵$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{BN}$不能构成空间的一个基底，∴$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{BN}$共面，∴A，B，M，N共面，故③正确．
④∵{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}是空间的一个基底，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面，∵$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{m}$不共面，∴{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{m}$}也是空间的一个基底，故④正确．
故选：D．

点评 本题考查了空间向量的基本定理，共面向量的判定，是基础题．