题目内容
11．已知点P、A、B、C共面，点O不在该平面内，Sn是等差数列{an}的前n项和，且满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a2•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a8•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a4008•$\overrightarrow{OC}$，则S2012的值为（ ）| A． | 2010 | B． | 2011 | C． | 2012 | D． | 2013 |
分析 由题意可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，利用等差数列的性质变形得到a1+a2012=2．然后代入等差数列的前n项和得答案．
解答 解：∵点P、A、B、C共面，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a2•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a8•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a4008•$\overrightarrow{OC}$，
∴由共面向量基本定理，可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，
即a2+2a8+a4008=4，
∴（a2+a8）+（a8+a4008）=4，
即2a5+2a2008=4，
∴2（a5+a2008）=4，则a1+a2012=2．
∴S2012=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2012}）×2012}{2}=2012$．
故选：C．
点评 本题考查空间中四点共面的条件，考查等差数列的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．
练习册系列答案
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| A． | $y=\sqrt{x}$（x≥1） | B． | $y=\sqrt{-x}$（x≤-1） | C． | $y=\sqrt{x}$（x≥0） | D． | $y=\sqrt{-x}$（x≤0） |