某港口水的深度y(m)是时间t的函数.记作y=f(t)．下面是某日水深的数据:t/h03691215182124y/m1013107101310710经长期观察.y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．一般情况下.船舶航行时.船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时.船底只需不碰海底即可)．某船吃水程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：

t/h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10	13	10	7	10	13	10	7	10

经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（　　）小时（忽略进出港所需的时间）．

A．

B．

C．

D．

分析通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数y=f（t）的近似表达式可求，由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的．

解答解：由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12，则ω=$\frac{π}{6}$．
再由$\left\{\begin{array}{l}{A+b=13}\\{-A+b=7}\end{array}\right.$，得振幅A=3，b=10，
∴y=3sin$\frac{π}{6}$t+10（0≤t≤24），
由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）
∴3sin$\frac{π}{6}$t+10≥11.5，
∴sin$\frac{π}{6}$t≥$\frac{1}{2}$，解得，2kπ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$t≤2kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z），所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），
在同一天内，取k=0或1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17，
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．
故选C．

点评本题考查了由部分图象确定函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属中档题．