Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x
（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函数M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值．
（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=log₂x，则h（x）=-2（t-1）²+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函数的性质求得h（x）的值域．
（2）根据函数M（x）=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，f（x）-g（x）=3（1-log₂x），分类讨论求得M（x）的最大值．
（3）由题意可得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，根据t∈[0，1]，可得（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，1]恒成立．再分①当t=0和②当t∈[0，1]两种情况，求得k的取值范围．

解答： 解：（1）令t=log₂x，则f（x）=3-t，g（x）=t，
h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-2（t-1）²+2．
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，
故当t=1时，h（x）取得最大值为2，当t=2时，函数取得最小值为0，
∴h（x）的值域为[0，2]．
（2）函数M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

=

g(x)  ，f(x)≥g(x) f(x)  ，f(x)＜g(x)

，
∵f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
∴当x∈（0，2]时，f（x）≥g（x） M（x）=log₂x．
当x∈（2，+∞）时，f（x）＜g（x） M（x）=3-2log₂x．
即M（x）=

log2x  ，0＜x≤2 3-2log2x ， x＞2

．
当0＜x≤2时，M（x）最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（3）∵对任意x∈[1，2]，不等式f（x²）f（

x

）＞k•g（x）恒成立，
即（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，
∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，1]恒成立．
①当t=0时k∈R．
②当t∈[0，1]，k＜

9

t

+4t-15，∵h（t）=

9

t

+4t-15在（0，1]上是减函数，
∴h（t）_min=-2，（t=1时），∴k＜-2．
综述，k的取值范围为（-∞，-2）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．