Question

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在X轴上，离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的右顶点为B，直线l过左焦点F₁且垂直于X轴，交椭圆于M、N两点，求△BMN的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用离心率e=

1

2

，可得b²=3c²，设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1把A（2，3）代入，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐标，|BF₁|=a+c=6，即可求△BMN的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

1

2

⇒a2=4c2，∴b²=3c²
于是可设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1把A（2，3）代入得c²=4
∴所求椭圆E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=4，c=2，
∴左焦点F₁（-2，0），B（4，0），|BF₁|=a+c=6
把x=-2代入方程得M（-2，3）、N（-2，-3），
∴△BMN的面积=

1

2

|MN|•|BF1|=

1

2

×6×6=18．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，难度中等．