Question

如果函数f（x）=ax²+2x-3
（1）当a=1时，求f（x）在[-2，2]之间的取值范围．
（2）若f（x）在区间（-∞，4）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，判断函数的对称轴，然后求f（x）在[-2，2]之间的取值范围．
（2）若f（x）在区间（-∞，4）上单调递增，分类讨论函数是一次函数还是二次函数，二次函数的对称轴与区间端点的关系，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+2x-3，
函数的对称轴为x=-1，
∴f（-1）=-4，f（2）=5．
函数在[-2，2]之间的取值范围：[-4，5]．
（2）当a=0时，函数是f（x）=2x-3，f（x）在区间（-∞，4）上单调递增，恒成立；
当a≠0时，函数是二次函数，f（x）在区间（-∞，4）上单调递增，
∴a＜0，
函数的对称轴x=-

1

a

，
则-

1

a

≥4解得-

1

4

≤a＜0，
∴实数a的取值范围[-

1

4

，0]．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用及分类讨论的思想，解题的关键是比较区间端点与二次函数的对称轴，但是不要漏掉对一次函数即a=0时的考虑．