Question

6．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值为-2．

Answer 1

分析 由题意可知：点P（x，y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），根据向量数量积的坐标运算，求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2，由-2≤x≤2，即可求得-2≤$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2≤1，求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值．

解答 解：由椭圆方程可知：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设点P（x，y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x）（$\sqrt{3}$-x）+y²=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2，
∵-2≤x≤2，0≤x²≤4，
∴-2≤$\frac{3}{4}{x}^{2}$-2≤1，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．