Question

18．从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表 （甲组优秀，乙组一般）：

	甲组	乙组	合计
男生	7	6
女生	5	12
合计

（1）试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；
（2）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？
②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）由列联表数据代入公式求出K²≈1.83＜2.706，从而得到没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．
（2）①用A表示“至少有1 人在甲组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率．
②由题意知，ξ服从二项分布$B（{3，\frac{2}{5}}）$，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）作出2×2列联表：

	甲组	乙组	合计
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合计	12	18	30

由列联表数据代入公式得      ${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}≈1.83$
因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．
（2）①用A表示“至少有1人在甲组”，则$P（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$．
②由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的概率为$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是$\frac{2}{5}$，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是ξ服从二项分布$B（{3，\frac{2}{5}}）$．显然ξ的取值为0，1，2，3，且$P（{ξ=k}）=C_3^k{（{\frac{2}{5}}）^k}{（{1-\frac{2}{5}}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．
所以得分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

数学期望$Eξ=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查二项分布的性质的合理运用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．