Question

2．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，则函数y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|是（　　）

• A． 最大值为$\sqrt{2}$b且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 最大值为$\sqrt{2}$a且它的图象关于点（$\frac{3π}{4}$，0）对称
• C． 最大值为$\sqrt{2}$b且它的图象关于直线x=π对称
• D． 最大值为$\sqrt{2}$a且它的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称．

Answer 1

分析 由题意可得f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得b=-a＞0，代入化简y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|=|$\sqrt{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）|=-$\sqrt{2}$asinx，可得三角函数的最值和对称性．

解答 解：∵函数f（x）=asinx-bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，
∴化简可得f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），其中tanφ=$\frac{b}{a}$，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜0，
平方可得[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）]²=（-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²=a²+b²，故b=-a＞0，
∴f（x）=asinx+acosx=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）
∴y=|f（$\frac{3π}{4}$-x）|=|$\sqrt{2}$asin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）|=-$\sqrt{2}$asinx，
∴函数的最大值为-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b，关于（π，0）对称．
故选：A．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数图象的对称性和最值，属中档题．