Question

10．P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1）
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求|PA|-|PF|的最大值；
（3）求|PA|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设双曲线左焦点为F₁，根据双曲线的定义可知|PA|+|PF|=|PF₁|-2a+|PA|，进而可知当P、F₁、A三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求的F₁的坐标，此时|PF₁|+|PA|=|AF₁|，利用两点间的距离公式求得答案．
（2）当P、F、A三点共线时有最大值；
（3）设P到准线的距离为d，则|PA|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF|=|PA|+d，过A作准线的垂线，垂足为B，则A，P，B三点共线时|PA|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF|最小．

解答 解：（1）设双曲线左焦点为F₁，则|PA|+|PF|=|PF₁|-2a+|PA|
当P、F₁、A三点共线时有最小值，此时F₁（-2，0）、A（3，1）
所以PF₁|+|PA|=|AF₁|=$\sqrt{26}$，而对于这个双曲线，2a=2$\sqrt{3}$，
所以最小值为$\sqrt{26}$-2$\sqrt{3}$；
（2）当P、F、A三点共线时有最大值，此时F（2，0）、A（3，1）
所以|PA|-|PF|的最大值为|AF|=$\sqrt{2}$；
（3）设P到准线的距离为d，则|PA|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF|=|PA|+d，
过A作准线的垂线，垂足为B，则A，P，B三点共线时|PA|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF|最小，最小值为3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．解题的过程灵活运用了双曲线的定义和用数形结合的方法解决问题．