Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a（bⁿ-1）（a≠0，b≠0且b≠1），证明：{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 根据等比数列结合条件先求出数列的通项公式进行证明即可．

解答 证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a（bⁿ-1）-a（b^n-1-1）=a•bⁿ-a•b^n-1=a•b^n-1（b-1），
当n=1时，a₁=S₁=a（b-1），满足a_n=a•b^n-1（b-1），
综上a_n=a•b^n-1（b-1），
∵a≠0，b≠0且b≠1，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{a•{b}^{n-1}（b-1）}{a•{b}^{n-2}（b-1）}$=b为常数，
故{a_n}是公比q=b的等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的判断和证明，根据条件先求出数列的通项公式，然后利用定义法是解决本题的关键．