Question

已知圆C的圆心在直线y=-2x上，且与直线2x+y-5=0相切于点（1，3）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点（-2，

5

2

）的直线l截圆C所得弦长为4，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设P₀（x₀，y₀）在圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，则圆在P₀（x₀，y₀）处的切线方程为l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，由此能求出圆C的标准方程．
（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=-2，符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y+2k+

5

2

=0，由过点（-2，

5

2

）的直线l截圆C所得弦长为4，得圆心（-1，2）到直线l的距离d=

5-4

=1，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）设P₀（x₀，y₀）在圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²上，
则圆在P₀（x₀，y₀）处的切线方程为l：（x-x₀）（x-a）+（y-y₀）（y₀-b）=r²，
∵直线2x+y-5=0相切于点（1，3）．
∴r²=5，①且（1-a）²+（3-b）²=r²，②
∵圆C的圆心C（a，b）在直线y=-2x上，
∴b=-2a，③
联立①②③，得（a+1）²=0，
解得a=-1，b=2，
∴圆C的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5．
（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=-2，
此时直线与圆C的交点为（-2，0），（-2，4），
直线l截圆C所得弦长为4，符合条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-

5

2

=k（x+2），即kx-y+2k+

5

2

=0，
∵过点（-2，

5

2

）的直线l截圆C所得弦长为4，
∴圆心（-1，2）到直线l的距离d=

5-4

=1，
∴

|-k-2+2k+ 5 2 |

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
∴直线l的方程为

3

4

x-y+2×

3

4

+

5

2

=0，整理得3x-4y+16=0，
综上所述，直线l的方程为：x=-2或3x-4y+16=0．

点评：本题考查圆的方程与直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．