Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD对角线的交点．
（Ⅰ）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（Ⅱ）求直线BC与平面ACC₁A₁所成角大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，由已知得四边形AOC₁O₁为平行四边形，由此能证明C₁O∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）由已知得AA₁⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面ACC₁A₁，∠BCO为直线BC与平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直线BC与平面ACC₁A₁所成角．

解答： （Ⅰ）证明：设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵AO

∥

.

C1O1，
∴四边形AOC₁O₁为平行四边形，
∴AO₁∥OC₁，
又AO₁?平面AB₁D₁，C₁O不包含于平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BCO为直线BC与平面ACC₁A₁所成的角，
在正方形ABCD中，由题意知∠BCO=45°，
∴直线BC与平面ACC₁A₁所成角为45°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．