Question

袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A，利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率．
（2）由已知条件推导出X的可能取值为3，5，6，7，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望EX．

解答： 解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．
∴第一次取到偶数球的概率为

2

4

=

1

2

，第二次取球时袋中有三个奇数，
∴第二次取到奇数球的概率为

3

4

，而这两次取球相互独立，
∴P（A）=

1

2

×

3

4

=

3

8

．（6分）
（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；
若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．
∴X的可能取值为3，5，6，7，
∴P（X=3）=

1

2

×

1

4

=

1

8

，P（X=5）=

1

2

×

2

4

+

1

2

×

1

4

=

3

8

，
P（X=6）=

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

4

=

1

4

，P（X=7）=

1

2

×

2

4

=

1

4

，
∴X的分布列为：

X	3	5	6	7
P	1 8	3 8	1 4	1 4

数学期望EX=3×

1

8

+5×

3

8

+6×

1

4

+7×

1

4

=

11

2

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查随机变量ξ的分布列和数学期望，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合思想的合理运用．