Question

已知直线l过点（0，4），取直线l上的一点P作圆C：x²+y²-2y=0的切线PA、PB（A、B为切点），若四边形PACB的面积的最小值为2，则直线l的斜率k为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．．

解答： 解：∵圆的方程为：x²+（y-1）²=1，
∴圆心C（0，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，
切线长PA，PB最小．切线长为2，
∴PA=PB═2，
∴圆心到直线l的距离为d=

5

．直线方程为y-4=kx，即kx-y+4=0，
∴

5

=

|4-1|

1+k2

，解得k=±

2 5

5

，
所求直线的斜率为：±

2 5

5

．
故答案为：±

2 5

5

．

点评：本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．