Question

已知实数x，y满足

x2

a

+

y2

b

=1（a＞0）．
（Ⅰ）若直线x+y+c=0与曲线E：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞0）相交于A，B两点，O是坐标原点，且

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），若直线OP的斜率为

1

2

，求曲线E的离心率；
（Ⅱ）当b=-4时，求y²+2x的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）利用向量的中点公式可知：点P是线段AB的中点，再利用“点差法”和斜率计算公式即可得出a=2b，利用离心率计算公式即可得出；
（II）由题意的方程可得P=y²+2x=4(

x2

a

-1)+2x=

4

a

x2+2x-4=

4

a

(x+

a

4

)2-4-

a

4

(x≤-

a

或x≥

a

)，通过对-

a

与-

a

4

的大小关系讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） 由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可知P为AB的中点，
设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入曲线方程：bx12+ay12=ab，bx22+ay22=ab，
⇒b(x12-x22)=-a(y12-y22)
⇒

y1-y2

x1-x2

=

b(x1+x2)

-a(y1+y2)

=

bx0

-ay0

=-1，
∵OP的斜率为

1

2

，从而

y0

x0

=

1

2

⇒

b

a

=

1

2

⇒a=2b，
∵a＞0，∴b＞0，
故曲线E为焦点在x轴上的椭圆，e=

1- b a

=

2

2

．
（Ⅱ） 记P=y²+2x=4(

x2

a

-1)+2x=

4

a

x2+2x-4=

4

a

(x+

a

4

)2-4-

a

4

(x≤-

a

或x≥

a

)，
（1）若-

a

＜-

a

4

⇒0＜a＜16，此时Pmin=-2

a

．
（2）若-

a

≥-

a

4

⇒a≥16，此时Pmin=-4-

a

4

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、二次函数的单调性、分类讨论思想等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．