Question

13．正六棱锥得底面周长为24，O是底面的中心，H是BC的中点，∠SHO=60°．
（1）求棱锥的高；
（2）求棱锥的斜高；
（3）求棱锥的侧棱长．

Answer 1

分析 先求出正六棱锥的底面边长为4，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，由此利用直角三角形的性质能求出棱锥的高、斜高和侧棱长．

解答 解：（1）∵正六棱锥的底面周长为24，∴正六棱锥的底面边长为4．
在正棱锥S-ABCDEF中，取BC的中点H，连结SH，SH⊥BC，O是正六边形ABCDEF的中心．
连结SO，则SO⊥底面ABCDEF．
在Rt△SOH中，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴∠SHO=60°，∴棱锥的高SO=OH•tAn60°=6．
（2）在△SOH中，∵∠SHO=60°，SO⊥OH，
∴棱锥的斜高SH=2OH=4$\sqrt{3}$．
（3）Rt△SOH中，∵SO=6，OB=BC=6，SO⊥OH，
∴棱锥的侧棱长SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查棱锥的高、斜高和侧棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．