Question

若点 P，Q分别在函数y=e^x和函数y=lnx的图象上，则P与Q两点间的距离的最小值是

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=e^x和函数y=lnx互为反函数，关于直线y=x对称．设直线y=x+t与y=e^x相切于点P（a，b），利用导数的几何意义求出切点P，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：函数y=e^x和函数y=lnx互为反函数，关于直线y=x对称．
设直线y=x+t与y=e^x相切于点P（a，b），
∵y′=e^x，∴e^a=1，解得a=0，∴b=1．
即切点为P（0，1），到直线y=x的距离d=

|0-1|

2

=

2

2

．
∴P与Q两点间的距离的最小值是2d=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了反函数的性质、导数的几何意义、切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．