Question

14．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AE与DF交于点N．则点N是AE的中点，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）分别以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AE与DF交于点N，连结MN，则点N是AE的中点
又M是线段CE的中点
∴MN∥AC----------------------（2分）
又AC?平面DMF，MN?平面DMF，
∴AC∥平面DMF-----------------（4分）
（Ⅱ）解：四边形ADEF是矩形，∴DE⊥AD
又平面ABCD丄平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥CD，
∵∠ADC=90°，
∴DE，DC，DA两两垂直
以D点为坐标原点建立空间直角坐标系-----（6分）

则D（0，0，0），F（1，0，2），M（0，1，1）----（7分）
则$\overrightarrow{DF}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，1）
设平面DMF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（2，1，-1）---------------（9分）
取平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）---------------（10分）
设平面DNF与平面ABCD所成角为θ
∴cosθ=|$\frac{-1}{\sqrt{4+1+1}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$------------（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．