题目内容

19．对于正整数n，设曲线y=xn（2-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和为Sn=2n+2-4．

分析 利用导数的几何意义求出切线方程为y=-2n（x-2），从而得到an=2n+1，利用等比数列的求和公式能求出Sn．

解答 解：∵y=xn（2-x），∴y'=2nxn-1-（n+1）xn，
∴曲线y=xn（2-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n-（n+1）2n=-2n，
切点为（2，0），
∴切线方程为y=-2n（x-2），
令x=0得an=2n+1，
∴Sn=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2n+2-4，
故答案为：2n+2-4．

点评 考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力．

练习册系列答案
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