Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂且倾斜角为45°的直线与双曲线右支交于A，B两点，则该双曲线离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该直线的斜率的绝对值大于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：过F₂且倾斜角为45°的直线与双曲线右支交于A，B两点，
则该直线的斜率大于渐近线的斜率，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有$\frac{b}{a}$＜tan45°，即为b＜a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
可得1＜e＜$\sqrt{2}$，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件，考查运算能力，属于中档题．