题目内容
14．已知函数f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x2-3ax+a2））（a＞0）（1）求函数f（x）单调区间；
（2）函数f（x）在（-∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）单调区间；
（2）由（1）可知，函数在x=2a处取得极小值，函数无最小值．
解答 解：（1）∵f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x2-3ax+a2），
∴f′（x）=$\frac{1}{a}$•e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x+a）（x-2a）
∵a＞0，
∴令f′（x）＞0，可得x＜-a或x＞2a；f′（x）＜0，可得-a＜x＜2a，
∴函数的单调递增区间是（-∞，-a），（2a，+∞）；单调减区间是（-a，2a）；
（2）由（1）可知，函数在x=2a处取得极小值，函数无最小值．
点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用以及分析问题能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | -1 | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | -$\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
2．给出下列四个命题，其中不正确的命题为（ ）
①若cos α=cos β，则α-β=2kπ，k∈Z；
②函数y=2cos$\frac{x}{3}$的图象关于x=$\frac{π}{12}$对称；
③函数y=cos（sin x）（x∈R）为偶函数；
④函数y=sin|x|是周期函数，且周期为2π．
①若cos α=cos β，则α-β=2kπ，k∈Z；
②函数y=2cos$\frac{x}{3}$的图象关于x=$\frac{π}{12}$对称；
③函数y=cos（sin x）（x∈R）为偶函数；
④函数y=sin|x|是周期函数，且周期为2π．
| A． | ①② | B． | ①④ | C． | ①②③ | D． | ①②④ |
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