Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l（不经过椭圆上顶点A）与椭圆C相交于P，Q两点，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，知AP⊥AQ，设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1（k≠0）$，将y=kx+1代入椭圆C的方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得（1+3k²）x²+6kx=0，求出P点坐标，进而求出Q点坐标，由此求出直线l的方程，从而能证明直线l过定点$（0，-\frac{1}{2}）$．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{6}{9{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}，b=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（5分）
证明：（2）由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
故不妨设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1（k≠0）$，
将y=kx+1代入椭圆C的方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
并整理得（1+3k²）x²+6kx=0，…（7分）
解得x=0（舍去）或$x=-\frac{6k}{{1+3{k^2}}}$，
因此P的坐标为$（-\frac{6k}{{1+3{k^2}}}，-\frac{6k}{{1+3{k^2}}}+1）$，即$（-\frac{6k}{{1+3{k^2}}}，\frac{{1-3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}）$．
将上式中的k换成$-\frac{1}{k}$，得$Q（\frac{6k}{{{k^2}+3}}，\frac{{{k^2}-3}}{{{k^2}+3}}）$，…（9分）
直线l的方程为$y=\frac{{\frac{{{k^2}-3}}{{{k^2}+3}}-\frac{{1-3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}}}{{\frac{6k}{{{k^2}+3}}+\frac{6k}{{1+3{k^2}}}}}（x-\frac{6k}{{{k^2}+3}}）+\frac{{{k^2}-3}}{{{k^2}+3}}$，
化简得直线l的方程为$y=\frac{{{k^2}-1}}{4k}x-\frac{1}{2}$，
所以直线l过定点$（0，-\frac{1}{2}）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．