Question

9．已知函数f（x）=sinxcosx-sin²（$\frac{π}{4}$-x）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）求函数y=f（x-$\frac{π}{8}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值以及取得最值时相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数f（x）的对称轴方程；
（2）写出函数f（x-$\frac{π}{8}$）的解析式，计算x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数f（x-$\frac{π}{8}$）的取值范围，即可求出f（x）的最值以及对应的x值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-sin²（$\frac{π}{4}$-x）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$•[1-cos（$\frac{π}{2}$-2x）]
=sin2x-$\frac{1}{2}$，
令2x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
得x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）由（1）得f（x-$\frac{π}{8}$）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
令2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=0时，f（x-$\frac{π}{8}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
令2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3π}{8}$时，f（x-$\frac{π}{8}$）取值最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是综合性题目．