Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点A（1，

3

2

），离心率为

1

2

，左右焦点分别为F₁、F₂．过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当△F₂AB的面积为

12 2

7

时，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知F₁（-1，0），直线l方程为y=k（x+1），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点A(1，

3

2

)，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1…（1分）
∵离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，…（2分）
又∵a²=b²+c²…（3分）
解①②③得a²=4，b²=3…（4分）
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）由（1）得F₁（-1，0）
①当l的倾斜角是

π

2

时，l的方程为x=-1，焦点A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)
此时s△ABF2=

1

2

|AB|×|F1F2|=

1

2

×3×2=3≠

12 2

7

，不合题意．…（7分）
②当l的倾斜角不是

π

2

时，设l的斜率为k，
则其直线方程为y=k（x+1）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

…（9分）
∴S△F2AB=S△F1F2B+S△F1F2A=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)
=

1

2

×2|y1-y2|=|k(x1+1)-k(x2+1)|
=|k|

|x1-x2|2

=|k|

(x1+x2)2-4x1x2

=|k|

(- 8k2 4k2+3 )2-4× 4k2-12 4k2+3

=

12|k| k2+1

4k2+3

…（10分）  
又已知S△F2AB=

12 2

7

，
∴

12|k| k2+1

4k2+3

=

12 2

7

⇒17k4+k2-18=0，
∴（k²-1）（17k²+18）=0，
∴k²-1=0，解得k=±1，
故直线l的方程为y=±1（x+1），
即x-y+1=0或x+y+1=0．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．