Question

已知二次函数f（x）满足f（1）=0，且f（x+1）-f（x）=4x+3．
（1）求f（x）的解析式，
（2）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出f（x）的解析式，根据f（1）=0，且f（x+1）-f（x）=4x+3构造系数的方程组，解得函数的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而结合f（x）在区间[a，a+1]上单调，可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）设y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（1）=0且f（x+1）-f（x）=4x+3，
∴a+b+c=0且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=4x+3，
∴2a=4，a+b=3，
解得a=2，b=1，c=-3，
函数f（x）的表达式为f（x）=2x²+x-3，
（2）∵f（x）=2x²+x-3的图象是开口朝上且以直线x=-

1

4

为对称轴的抛物线，
若f（x）在区间[a，a+1]上单调，
则a≥-

1

4

，或a+1≤-

1

4

，
∴a≥-

1

4

，或a≤-

5

4

．

点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．