Question

设数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2，n为正整数，它的前n项和为S_n，且a₃=10，S₆=72．若b_n=

1

2

an-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得数列{a_n}是等差数列，由等差数列的性质求出a_n=2+（n-1）×4=4n-2．从而b_n=

1

2

an-30=2n-31．由此能求出n=15时，数列{b_n}的前n项和的最小值为-225．

解答： 解：∵数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2，n为正整数，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₃=10，S₆=72，
∴

a1+2d=10 6a1+ 6×5 2 d=72

，
解得a₁=2，d=4，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
b_n=

1

2

an-30=2n-31．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，
S_n=2（1+2+3+…+n）-31n
=n²-30n=（n-15）²-225．
∴n=15时，数列{b_n}的前n项和的最小值为-225．

点评：本题考查数列的前n项和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．