Question

设S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=1，且S₁，S₂，S₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

anan+1

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的前n项和公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{

1

anan+1

}的前n项和．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴S22=S1•S4，即(2+d)2=4+6d，
解得d=2或d=0（舍）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题是数列的基础题目，主要考查了等差数列通项公式的求法以及裂项相消法求数列的和，是中档题．