题目内容
已知函数f（x）=ex-x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知t为实数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（Ⅲ）定义在区间D上的函数g（x），若存在区间[a，b]⊆D及实常数m，当x∈[a，b]时，g（x）的取值范围恰为[a+m，b+m]，则称区间[a，b]为g（x）的一个同步偏移区间，m为同步偏移量．试问函数y=[f（x）+x]（x2-1）在（1，+∞）上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量，若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知t为实数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（Ⅲ）定义在区间D上的函数g（x），若存在区间[a，b]⊆D及实常数m，当x∈[a，b]时，g（x）的取值范围恰为[a+m，b+m]，则称区间[a，b]为g（x）的一个同步偏移区间，m为同步偏移量．试问函数y=[f（x）+x]（x2-1）在（1，+∞）上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量，若不存在，请说明理由．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）根据切线的斜率就是函数在切点处的导数，这一问不难求出．
（Ⅱ）t取值的不同决定着f（x）取到的最小值，所以讨论t便可．
（Ⅲ）根据同步偏移区间的定义，先求出所给函数的取值范围，让这组范围的两个端点值分别和区间[a+m，b+m]的两个端点值相等，便得出两组等式，去验证这两组等式是否成立即可．
（Ⅱ）t取值的不同决定着f（x）取到的最小值，所以讨论t便可．
（Ⅲ）根据同步偏移区间的定义，先求出所给函数的取值范围，让这组范围的两个端点值分别和区间[a+m，b+m]的两个端点值相等，便得出两组等式，去验证这两组等式是否成立即可．
解答：
解：（Ⅰ）由题意知f（1）=e-1，f′（x）=ex-1；
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=e-1；
∴切线方程为y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x；
（Ⅱ）令f'（x）=ex-1=0，得x=0；
所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
所以：（1）当t+2≤0，即t≤-2时，f（x）在[t，t+2]上单调递减，所以，f（x）的最小值是f（t+2）=et+2-t-2；
（2）当t＜0，且t+2＞0，即-2＜t＜0时，f（x）在[t，0）上单调递减，在（0，t+2]上单调递增，所以f（x）的最小值是f（0）=1；
（3）当t≥0时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，所以f（x）的最小值是f（t）=et-t．
（Ⅲ）函数y=[f（x）+x]（x2-1）在（1，+∞）上不存在同步偏移区间 …（10分）
证明如下：
假设函数g（x）=[f（x）+x]（x2-1）=（x2-1）ex存在同步偏移区间[a，b]；
则g′（x）=（x2+2x-1）ex；
∵x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增；
所以g（x）的取值范围是：[（a2-1）ea，（b2-1）eb]；根据同步平移区间，则有：（a2-1）ea=a+m，（b2-1）eb=b+m；
所以方程（x2-1）ex=x+m有两个大于1的相异实根；
设φ（x）=（x2-1）ex-x-m（x＞1），则φ′（x）=（x2+2x-1）ex-1；
∵x＞1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点；
这与方程（x2-1）ex=x+m有两个大于1的相异实根矛盾；
∴假设不成立，即g（x）在（1，+∞）上不存在同步偏移区间．
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=e-1；
∴切线方程为y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x；
（Ⅱ）令f'（x）=ex-1=0，得x=0；
所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
所以：（1）当t+2≤0，即t≤-2时，f（x）在[t，t+2]上单调递减，所以，f（x）的最小值是f（t+2）=et+2-t-2；
（2）当t＜0，且t+2＞0，即-2＜t＜0时，f（x）在[t，0）上单调递减，在（0，t+2]上单调递增，所以f（x）的最小值是f（0）=1；
（3）当t≥0时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，所以f（x）的最小值是f（t）=et-t．
（Ⅲ）函数y=[f（x）+x]（x2-1）在（1，+∞）上不存在同步偏移区间 …（10分）
证明如下：
假设函数g（x）=[f（x）+x]（x2-1）=（x2-1）ex存在同步偏移区间[a，b]；
则g′（x）=（x2+2x-1）ex；
∵x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增；
所以g（x）的取值范围是：[（a2-1）ea，（b2-1）eb]；根据同步平移区间，则有：（a2-1）ea=a+m，（b2-1）eb=b+m；
所以方程（x2-1）ex=x+m有两个大于1的相异实根；
设φ（x）=（x2-1）ex-x-m（x＞1），则φ′（x）=（x2+2x-1）ex-1；
∵x＞1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点；
这与方程（x2-1）ex=x+m有两个大于1的相异实根矛盾；
∴假设不成立，即g（x）在（1，+∞）上不存在同步偏移区间．
点评：1．切线的斜率等于函数在切点的导数，这个知识点要熟记．
2．掌握利用导数解决求函数最值问题的一般过程．
3．至于第三问，要理解同步偏移量是什么回事，在不好确定同步平移空间时，可假定存在，在验证所得等式即可．
2．掌握利用导数解决求函数最值问题的一般过程．
3．至于第三问，要理解同步偏移量是什么回事，在不好确定同步平移空间时，可假定存在，在验证所得等式即可．
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